請問一正餘弦函數疊合的問題-－d4brandymathe

標題:

請問一正餘弦函數疊合的問題?

發問:

設F(X)=asinX+bcosX 其中a,b為非零的實常數 . 已知當x= - 30度時 ,F(X)有最大值2.請問何者為真? 1.f(x)的週期為二拍 2.f(x)的最小值為 - 2 3.x=150度時,f(x)有最小值

最佳解答:

(1) 因為sinx及cosx的週期都是2π，所以其線性組合asinx+bsinx週期仍是2π。故 1. 為真 (2) F(x)=asinx+bcosx =√(a^2+b^2){[a/√(a^2+b^2)]sinx+[b/√(a^2+b^2)]cosx} =√(a^2+b^2){cosθsinx+sinθcosx} =√(a^2+b^2)sin(x+θ) (其中 cosθ=a/√(a^2+b^2), sinθ=b/√(a^2+b^2) ) 因為-1≦sin(x+θ)≦1，所以當 x+θ=90度時(sin(x+θ)=1)，F(x)有最大值 √(a^2+b^2)=2， => -30度+θ=90度 => θ=120度。又當 x+θ=-90度時(sin(x+θ)=-1)，F(x)有最小值 √(a^2+b^2)=-2， => x+120度=-90度 => x=-210度=150度所以 2. 3. 亦為真。