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高一數學證明題

發問:

1. (1)若[a,b]=m,則a與b的每一個公倍數都是m的倍數. (提示:利用正整數的除法原理.因數與倍數的性質(2)) (2)反之,設d是a與b的正公因數,若a與b的每一個公因數都是d的 因數,則d=[a,b]. 2. (1)若[a,b]=m,則a與b的每一個公倍數都是m的倍數. (提示:利用正整數的除法原理.因數與倍數的性質(2)) (2)反之,設m是a與b的正公倍數,若a與b的每一個公倍數都是m的 倍數,則m=[a,b].

最佳解答:

1. (1) 因為 m = [a, b] 所以 a | m, b | m, 且 m 為 a, b 的公倍數中的最小的值 假設 M 為 a, b 的公倍數 i.e. a | M, b | M M = m*k + r, r = 0 or r < m 所以 a | (M - m*k), b | (M - m*k) 即 a | r, b | r 如果 r 不為 0 => 矛盾,因為 m 為a, b 的最小公倍數 所以 r = 0 => m | M 即 m 整除 a, b 的公倍數 (2) 我想題目有寫錯 應該是說 d = (a, b) 才對 假設 c | a, c | b 根據題目 => c | d 因為 d 為 a, b 的正公因數 即 d > 0. 所以 c <= d. d | a, d | b 所以d | a, d | b and for all c s.t. c | a. c | b. c <= d 即 d 為 a, b 的最大公因數 by 定義 2. (1) 看不出題目要怎麼改 如果不變 => 同 1 (1) (2) 假設 a | M, b | M 根據題目 => m | M 因為 m 為 a, b 的正公倍數 即 m > 0, a | m, b | m for all M > 0, 因為 m | M => m <= M 所以 a | m, b | m and for all M > 0 s.t. a | M, b | M, 0 < m <= M, 即 m 為最小公倍數 by 定義

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